微分方程的通解公式
微分方程的通解公式依賴于方程的類型和階數。下面是一些常見的微分方程通解公式的例子：
### 一階線性微分方程
對于一階線性微分方程 \\（ \\frac{dy}{dx} + P（x）y = Q（x） \\），其通解公式為：
\\[ y = e^{-\\int P（x）dx} \\left（ \\int Q（x）e^{\\int P（x）dx} dx + C \\right） \\]
其中 \\（ C \\） 是任意常數。
### 二階常系數齊次線性微分方程
對于二階常系數齊次線性微分方程 \\（ y\'\' + py\' + qy = 0 \\），其通解公式依賴于特征方程 \\（ r^2 + pr + q = 0 \\） 的根 \\（ r_1, r_2 \\）：
- 如果 \\（ r_1
eq r_2 \\），則通解為 \\（ y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \\）。
- 如果 \\（ r_1 = r_2 \\），則通解為 \\（ y = （C_1 + C_2x）e^{r_1x} \\）。
- 如果 \\（ r_1 \\） 和 \\（ r_2 \\） 是一對共軛復根 \\（ r_1 = \\alpha + i\\beta, r_2 = \\alpha - i\\beta \\），則通解為 \\（ y = e^{\\alpha x}（C_1 \\cos \\beta x + C_2 \\sin \\beta x） \\）。
### 非齊次線性微分方程
對于非齊次線性微分方程 \\（ y\'\' + py\' + qy = f（x） \\），其通解由對應的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解組成：
\\[ y = y_h + y_p \\]
其中 \\（ y_h \\） 是齊次方程的通解，\\（ y_p \\） 是非齊次方程的一個特解。
### 特殊類型的微分方程
- 對于全微分方程 \\（ udx + vdy = 0 \\），如果 \\（ \\frac{du}{dy} = \\frac{dv}{dx} \\），則其通解為 \\（ \\int udx + \\int vdy = C \\），其中 \\（ C \\） 是積分常數。
以上是微分方程通解的一些基本形式。對于更復雜的微分方程，可能需要使用更高級的數學工具，如拉普拉斯變換或特征方程方法。
